Систему знаний учащихся общеобразовательной школы по школьным дисциплинам, в том числе по математике, в настоящее время нельзя считать вполне удовлетворительной. Несмотря на значительное время, отведенное учебным планом на изучение основных школьных дисциплин, знания учащихся все же остаются формальными и быстро забываются.
Становление личности и развитие творческого мышления - основная цель современного образования, она же является приоритетной и при обучении математике. Активная позиция человека в процессе овладения знаниями предполагает использование методов научного познания. Их удачное приложение к процессу обучения в школе находится в центре внимания многих исследователей. Решение теоретических и практических аспектов этой проблемы опирается на работы психологов П.Я.Гальперина, В.В.Давыдова, З.И.Калмыковой, Л.М.Фридман, Д.Б.Эльконина и др, дидактов Ю.К.Бабанского ; М.Ф.Данисова, Л.Н.Ланда и др, и методистов В.М.Монахова ; В.А.Далингера и других.
Чтобы понять предмет, нужно быть знакомым с фактами, которые его характеризуют. Переход от фактов существования предметов к раскрытию их сущности, к обобщающим выводам проходит при помощи ряда умственных и практических действий, составными элементами которых являются умственные операции. К ним относятся: анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение, конкретизация, классификация, систематизация (смотреть блок-схему №1).
Обобщение-это мысленное объединение предметов и явлений по их общим существенным признакам.
Систематизация - мыслительная операция, которая выражается в расположении отдельных предметов, фактов, явлений, мыслей в определенном порядке – пространственном, временном, логическом.
Систематизация учебного материала может выражаться в приведении частей целого в какой-то порядок, в определенную систему, в которой отдельные части, располагаясь в известных отношениях друг к другу, составляют единое целое.
Вопросами систематизации методов решения иррациональных уравнений занимались методисты: В.А.Далингер, Л.М.Фридман, О.Б.Епишева, Г.В.Дорофеев, И.Ф.Шарыгин, В.И.Рыжик, А.Г.Мордкович и др. Ими разработаны продуктивные методы и эвристические приемы решения иррациональных уравнений различного вида, способствующие развитию мышления учащихся, однако в доступной нам методической литературе не в полной мере проведена систематизация нестандартных методов решения некоторых видов иррациональных уравнений например: уравнения, решаемые с помощью оценки значений выражений, с помощью введения тригонометрической замены и др.
По результатам ЕГЭ, 60% учащихся 11 класса не решают иррациональные уравнения, включенные в часть “C”, чтобы помочь учащимся преодолеть неуверенность в подходах к решению иррациональных уравнений, в работе рассматриваются различные способы решения уравнений. Все вышесказанное определяет актуальность исследования.
Проблема состоит в разрешении противоречия между многофункциональными возможностями решения иррациональных уравнений и недостаточной изученностью этих возможностей в процессе обучения учащихся.
Принцип систематизации в преподавании. Еще в 1905 году Уильям Джеймс в своей книге «Психология» рассуждал о том, «почему зубрение представляет такой дурной способ учения»(Е. Е. Семенов «Принцип систематизации в преподавании математики»). «Под зубрением я разумею тот способ приготовления к экзаменам, когда факты закрепляются в памяти в продолжение немногих часов или дней путем усиленного напряжения мозга на время до срока испытания включительно, между тем как в течение учебного года память почти вовсе не упражнялась в области предметов, необходимых к экзамену. Предметы, таким путем заучиваемые нами на отдельный случай временно, не могут образовать в нашем уме прочных ассоциаций с другими объектами мыслей. Соответствующие им мозговые токи проходят по немногим путям и, относительно говоря, с большим трудом возобновляются. Знание, приобретенное путем простого зубрения, почти неизбежно забывается совершенно бесследно. Наоборот, умственный материал, набираемый памятью постепенно, день за днем, в связи с различными контекстами, освещенный с различных точек зрения, связанный ассоциативно с другими внешними событиями и неоднократно подвергшийся обсуждению, образует такую систему, вступает в такую связь с остальными сторонами нашего интеллекта, легко возобновляется в памяти такою массою внешних поводов, что остается надолго прочным приобретением.
В системе каждый факт мысли связан с другим фактом каким - нибудь отношением. Благодаря этому каждый факт задерживается совокупной силой всех других фактов системы, и забвение почти невозможно».
С тех пор прошло почти 100 лет, а слова эти остаются поразительно злободневными. В этом каждодневно убеждаешься, занимаясь со школьниками. Массовые пробелы в их знаниях настолько велики, что можно утверждать: школьный курс математики в дидактическом и психологическом отношениях – не система, а некое устройство, поощряющее кратковременную память и несколько не заботящееся о памяти долговременной. Устройство это уничтожает интеллектуальные плоды собственного труда, поскольку равнодушно к тому, что при изучении новой темы учащиеся могут пренебрегать теми знаниями, которые не являются в данный момент дедуктивной основой изложения.
Указанный изъян порождается и поддерживается учебниками, дидактическими материалами и соответственно, самим преподаванием. В итоге возможность учащихся извлечь из памяти знания, необходимые для данной эвристической учебно – познавательной математической деятельности, близка к нулю. О надежных и эвристических знаниях приходится говорить чаще не как о существующих, наблюдаемых, а как о несбыточных, как об идеале, к которому нужно стремиться.
Знать школьный курс математики значит владеть материалом, изучаемым в средней школе, быть в состоянии актуализировать любой из них в любое время. Чтобы достичь этого, нужно систематически обращаться к каждому из них. Иначе на итоговых уроках по систематизации и обобщению знаний мы будем возлагать на умы учащихся неподъемную тяжесть, толкать их, как заметил, У. Джеймс, на зубрение, влекущее за собой бесследное исчезновение вызубренного в скором времени.
Рассмотрим ряд ситуаций, дающих возможность осуществлять «наложение» направлений друг на друга, их взаимодействие, обеспечивать перманентную востребованность каждого из них.
Решение устных задач, в которые входят задачи многих направлений. Рассмотрение более сложных, комплексных задач, подобранных таким образом, что решение каждой из них требует обращения ко многим направлениям, а все задачи из каждого (малочисленного) набора в совокупности отражают все направления.
Проведение исследований. Составление наборов таких задач, при решении которых явным образом используются:
-
основные мыслительные операции – анализ и синтез, индукция и дедукция, сравнение и аналогия, обобщение и конкретизация;
-
общие методы решения, их классификация – мощные средства скрепления основных направлений курса.
-
Приложения математических знаний в других областях (физика, черчение, биология, география, астрономия, социология).
-
Испытание ученика переходом «от школярства» к исследованию может оказаться судьбоносным, а потому необходимо. Известно, что если материал усваивается слишком легко, то интерес к нему у многих учеников постепенно исчезает.
Систематизирующее воздействие перечисленных ситуаций будет эффективнее, если придерживаться следующих положений: 1)перед каждой темой проводить вводные уроки, открывающие перспективу ее изучения, а после изучения темы – уроки систематизации, обобщения, углубления математических знаний; 2)постоянно включать в контрольные работы задачу по выбору из ранее изученных материалов, практиковать систематически работы с задачами из многих направлений; 3)искать и использовать разнообразные основания для обсуждения и объединения разнородных направлений в одну укрупненную дидактическую единицу; 4)использовать принцип отсроченной строгости. Он состоит в следующем: с помощью правдоподобных рассуждений выдвигаем гипотезу. Если ее доказательства сложные и требуют много времени, откладываем ее на будущее. Полагаем, что гипотеза истина. Исследуем, какие следствия из этого вытекают, какие содержательные задачи порождаются. Наблюдаем, не приходим ли к какому – либо противоречию, и отмечаем, что принятие гипотезы в качестве истинного утверждения резко расширяет круг решаемых задач.
Возрастные особенности развития мыслительных приемов обобщения и систематизации старших школьников. Рассмотрим возрастные особенности развития мыслительных приемов обобщения и систематизации старших школьников, т.е. учащихся 9-11 классов. Психологи отмечают, что с 9 класса подростки способны к достаточно сложному аналитико-синтетическому восприятию предметов и явлений действительности, они научаются самостоятельно мыслить, рассуждать, сравнивать, делать вывод, обобщать, у них формируется абстрактное мышление. Из результатов своего исследования, И.В.Дубровина и Б.С.Круглов отмечают, что уровень развития умения обобщать понятия у девятиклассников возрос, по сравнению с тем низким уровнем, который они показывали в 8 классе, они не умели оперировать отвлеченными категориями. У учащихся 9 класса, как отмечают исследователи, лучше всего развиты обобщения к пространственным операциям, но еще слабо развито умение систематизировать.
У десятиклассников, как отмечают И.В.Дубровина и Б.С.Круглов, исчезли ошибки в заданиях, где нужно выделять принципы необходимости, а не только достаточности, что говорит о значительном развитии таких мыслительных приемов как анализ, синтез и систематизация. В классификациях и обобщениях все еще встречаются неточности, причина кроется в недостаточно развитом умении выделять существенные признаки объектов.
Оценивая особенности умственных навыков и умений у учащихся 11 классов, по результатам своих исследований, И.В.Дубровина и Б.С.Круглова отмечают, что у них происходит существенное развитие умений обобщать, систематизировать, находить числовые закономерности и пространственные умения. Содержательно-методическая линия уравнений является в школьном курсе математики одной из ведущих. В каждом классе учащиеся решают уравнения, пополняют запас их видов, так и методов их решения. Впервые с определением квадратного корня учащиеся знакомятся в 8 классе, простейшие иррациональные уравнения решают в 9 классе ( возведение обеих частей в квадрат ; введение новой переменной). Если учащиеся изучают курс алгебры и начала анализа по учебникам А.Н.Колмогорова, или С.М.Никольского, или Н.Я.Виленкина, т.е. математические классы, то основательное изучение темы «Иррациональные уравнения» рассматривается в 11 классе.
Изучение темы можно начать с вводной лекции, напомнить теоретический материал, необходимый для решения уравнений : 1)Определение иррационального уравнения. 2)Область допустимых значений уравнения. 3)Корень уравнения. 4)Что значит решить уравнение. 5)Следствие одного уравнения из другого. 6)Равносильность уравнений. 7)Преобразования, которые можно выполнять над уравнениями.
Тождественные преобразования, на первый взгляд совершенно безобидные, в действительности приводят к неравносильным уравнениям, так как они изменяют ОДЗ, так, например, заменив (√ х+4 )² на х+4 в решении иррационального уравнения, сразу же расширяем ОДЗ, в результате появляются посторонние корни. Поэтому замена одной формулы на другую приводит к расширению или сужению ОДЗ. Если в процессе преобразований уравнения посторонние корни могли появиться только за счет расширения ОДЗ, то корнями исходного уравнения, будут те и только те из них, которые входят в ОДЗ.
Вместо непосредственной подстановки полученных значений переменных в данное уравнение, можно применять проверку на вхождение в ОДЗ, но только в том случае, когда посторонние корни появились за счет расширения ОДЗ.
Посторонние корни могут появиться в процессе решения иррациональных уравнений при возведении обеих частей в квадрат, в этом случае второе уравнение является следствием первого, но не наоборот.
Если обе части уравнения неотрицательны на некотором множестве значений аргумента, то при возведении в квадрат получим уравнение, равносильное исходному на этом множестве. Использование всей теории в решении иррациональных уравнений не всегда целесообразно, в процессе решения необходимо стремиться к самому рациональному, простому решению. Практическая ценность результатов исследования состоит в том, что разработана система иррациональных уравнений для учащихся 11 классов, направленная на формирование у старшеклассников умений решать иррациональные уравнения.
Внедрение результатов исследования в практику обучения учащихся 11 классов осуществлялось через: самостоятельные работы, уроки-семинары, «математические бои», графические диктанты, тесты, контрольные работы, зачеты.
Анализ данных об уровнях сформированности умений учащимися 11 класса решать иррациональные уравнения различного вида на начало и на конец изучения темы показал изменения по каждому уровню. На конец изучения темы число учащихся с низким уровнем существенно уменьшилось на 30,77%, значительно увеличилось число учащихся с высоким уровнем на 19,23%, возросло число учащихся со средним уровнем на 11,54%.
Анализ результатов контрольных работ и ЕГЭ показывает, что учащиеся овладели основными методами и различными способами решения иррациональных уравнений. Цель исследования данной работы - разработка теоретически обоснованной содержательно - методической линии иррациональных уравнений, направленной на развитие умения учащимися решать данные уравнения.
В результате исследования были получены следующие результаты:
1. обобщены и систематизированы основные виды иррациональных уравнений;
2. разработаны методические рекомендации по решению иррациональных уравнений;
3. разработана методическая система формирования умений у учащихся решения иррациональных уравнений;
4. в практической части работы показаны различные способы решения уравнений. Результаты исследования подтверждены практическими работами учащихся 11 класса;
5. итоги контрольных работ и ЕГЭ подтверждают правильность выбранной методики.
Все поставленные задачи в данной работе решены, однако, определены перспективы дальнейшего исследования, - решение иррациональных уравнений с параметрами.
Приложения
Ι. «Математический бой» по теме «Иррациональные уравнения» (11 класс). Решите уравнения
ΙΙ. Решите системы уравнений ( самостоятельная работа, 11 класс) 1*³√х+³√y=4 х+y=28
-
х √y+y√х=6 х²y+y²х=20
-
√20y ∕ х=√х+y+√х−y √16х ⁄ 5y=√х+y−√х−y
-
х√(х+y)²=3х х(√(х−y)²−1)²=0
-
√7х+y + √х+y=6 √х+y − y + х=2
ΙΙΙ. Семинар по решению задач по теме «Иррациональные уравнения» (11 класс). Индивидуальные задания, которые защищает каждый учащийся. Решите уравнения
-
√7−1 ∕ log 4=2log (0,5√х)
-
2+√25х׀х−1׀+4=5х
-
√х−5−√2х−1=х²+3
-
х²+х+√х+1=2+√2
-
√х²+х−1+√х−х²+1=х²−х+2
-
Найдите все пары чисел (х;y), удовлетворяющие уравнению: √4х²−20х+25+׀√y−х׀=6−9 ⁄ ׀5−2х׀
-
√sin3х+cosх−sinх=√cosх−sin2х
-
log 1 ∕ √log х=log (log х ⁄ 3)
-
√2х²−4х=√х²+1+√х²−1
-
√7+5х−√5+4х=√х+2
-
(√7+4√3) + (√7−4√3) =2,5
-
√15+5х−√19−5х=2
-
√cosх+√2sinх=0
-
√3+5tg²х=5cosх−sinхtgх
-
4 ⁄ п arcsin(х−1)=2+√х²−х−2
-
√7−х+√х+1+cos2пх=5
-
(4 −2)√3+2х−х²=0
-
(2cos²х−sinх−2)√9−х²=0
-
144 =(√5−2√6+√5+2√6)²
-
³√х−2+√х+1=3
Ирина Александровна Зотова,
учитель математики, МОУ «Математический лицей»,г. Хабаровск.
